Общественный и политический деятель Юга Росии и Донской области.

Родился 23 ноября (4 декабря по н.ст.) 1881 года в усадьбе Петровское близ станции Миллерово. По происхождению казак станицы Каменской Области войска Донского (ОВД). Сын войскового старшины Войска Донского. В 1903 году окончил Новочеркасскую гимназию, в 1911 году - историко-филологический факультет Петербургского университета, где все годы учебы был председателем донского землячества, с 1911 года преподавал в Новочеркасской гимназии. В 1914 году назначен директором гимназии в станице Каменской. Активно занимался изучением истории ОВД, выступал за возрождение старинных казачьих традиций, развитие местной казачьей культуры.

Оратор, прозванный "донским златоустом", пользовался высоким авторитетом среди казаков. В 1917 году, будучи видным представителем казачьей интеллигенции, включился в активную политическую жизнь. После Февральской революции 1917 года был председателем 1-го Всероссийского казачьего съезда в Петрограде. В апреле в Новочеркасске избран председателем 1-го съезда донских казаков, также назначен председателем исполнительного комитета по выработке Положения о выборах и созыве Донского Войскового Круга. 26 мая 1917 года избран председателем 1-го Войскового круга Войска Донского, а 18 июня товарищем (заместителем) войскового атамана А. М. Каледина. По инициативе Богаевского Круг провозгласил 20 октября независимость ОВД до образования в России правительства, приемлемого для казаков.

Октябрьскую революцию встретил откровенно враждебно, выступал против установления Советской власти, был в числе идейных вдохновителей одного из первых вооруженных выступлений, ознаменовавших начало Гражданской войны. В конце 1917 года баллотировался в Учредительное собрание и был избран. В декабре вошел в "Донской гражданский совет", претендовавший на роль Всероссийского правительства.

29 января 1918 года Богаевский вместе с Калединым сложил свои полномочия. После ввода красноармейцев на Дон и самоубийства Каледина, скрывался в Сальских степях у калмыков. 6 марта 1918 года был арестован красногвардейцами, содержался в Новочеркасске, затем в Ростове-на-Дону. 1 апреля 1918 года был расстрелян близ Ростова-на-Дону.