Военачальник и политический деятель, генерал-лейтенант, в 1918-19 годах председатель Донского правительства, атаман Войска Донского с февраля 1919 года, с 1920 года в эмиграции. Старший брат М. П. Богаевского.

Родился 27 декабря 1872 г. (8 января 1873 г. по н. ст.) в станице Каменской на Дону. Cын войскового старшины. В 1890 году окончил Донской кадетский корпус, затем в 1892  году Николаевское кавалерийское училище (с отличием), в 1900 году - Академию Генерального штаба.

В начале I-й мировой войны занимал должность начальника штаба 2-й гвардейской дивизии, был контужен разрывом снаряда. В октябре 1914 - январе 1915 года командовал 4-м гусарским Мариупольским полком, затем до октября 1915 г. - лейб-гвардии Сводным казачьим полком, после чего назначен начальником штаба походного атамана всех казачьих войск великого князя Бориса Владимировича с зачислением в свиту Его Величества.

После Февральской революции 1917 года командовал Забайкальской казачьей дивизией в боях под Тарнополем (награжден орденом святого Георгия 4-го класса) и 1-й гвардейской кавалерийской дивизией, расквартированной под Киевом. В начале 1918 г. возвратился на Дон и стал командовать войсками Ростовского района. В феврале 1918 г. вместе с генералом Л. Г. Корниловым участвовал в I-м Кубанском походе, командовал Партизанским полком, а затем 2-й бригадой Добровольческой армии. С мая 1918 г. занял в правительстве атамана П. Н. Краснова пост председателя Совета уполномоченных отделами и управляющего отделом иностранных сношений. В августе 1918 г. по решению Войскового круга произведен в чин генерал-лейтенанта, а 6 февраля 1919 г. был избран большинством голосов атаманом Всевеликого войска Донского, но его военные полномочия были делегированы главнокомандующему Вооруженными силами юга России. На этом посту остался и после отступления белых с Дона и из Крыма.

В 1920 году эмигрировал сначала в Турцию, затем Болгарию, позднее в Югославию. С 1923 г. жил в Париже. Занимал пост донского атамана. Являясь наиболее крупной фигурой в среде зарубежного казачества, стал одним из инициаторов образования Объединенного совета Дона, Кубани и Терека (1920 г.), Казачьего союза, объединявшего 68 организаций в 8 странах (1924 г.), а также Союза казаков-комбатантов (1932 г.). По его инициативе была создана Донская историческая комиссия, выпустившая ряд солидных сборников документов и трудов по истории казачества. Сам Богаевский активно печатался под псевдонимом Эльмут в казачьих периодических изданиях.

Умер 21 октября 1934 года в Париже от сердечного приступа. Похоронен на русском кладбище Сен-Женевьев-де-Буа близ Парижа.