Астамур Адлейба родился в 1960 году в г.Сухуми. В 1977 г. поступил в Государственный институт субтропического хозяйства. С 1979 г. по 1981 г. служил в рядах Советской Армии. После демобилизации продолжил учебу в институте, который окончил в 1984 г.

С 1981 г. по 1982 г. Астамур Адлейба - инструктор Сухумского Городского комитета комсомола.

С 1982 - 1984 гг. - агроном в отделе однолетних культур Министерства сельского хозяйства Абхазской АССР.

С 1984 - 1986 гг. - агроном Государственного комитета сельскохозяйственного производства Абхазской АССР.

С 1986 - 1989 гг. - главный агроном, заведующий зверохозяйством при Киндской птицефабрики.

С 1989 - 1992 гг. - заместитель Председателя Совета колхозов Абхазской АССР.

С 1993 - 2002 гг. - директор туристической гостиницы "Айтар".

С декабря 2002 г. по 2004 г. А.Адлейба занимал пост министра по делам молодежи, спорту, курортам и туризму Республики Абхазия. В феврале 2005 г. Астамур Адлейба назначен исполняющим обязанности мэра города Сухум.

Женат, имеет 2-х детей.